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    L'objectif des 1/4h python est d'illustrer par la simulation certains aspects du cours. Toutes les fenêtres de code peuvent (et doivent!) être exécutées en cliquant sur Evaluate. N'hésitez pas à éditer le code pour modifier les paramètres.

    Le modèle

    L'objectif de ce 1/4h python est d'étudier empiriquement le comportement asymptotique du processus de Galton-Watson.

    On se donne une famille $\left\{X_i^{(n)}, i\geq 1,n\geq 1\right\}$ de variables aléatoires i.i.d. à valeurs dans $\mathbb{N}$. Le paramètre déterminant est le taux moyen de reproduction $\mu=\mathbb{E}[X_i^{(n)}]$.
    On pose $Z_0=0$ et

    $$ Z_{n+1}= \begin{cases} \sum_{j=1}^{Z_n} X_j^{(n+1)} &\text{ si }Z_n >0,\\ 0 &\text{ sinon}. \end{cases} $$

    1. Simulations de $(Z_n)$

    Le script suivant trace $S$ trajectoires indépendantes du processus $(Z_n)$. On prend comme loi des $X_i^{(n)}$ une loi binomiale $\mathrm{Binom}(n,p)$.

    (On peut essayer par exemple $\mathrm{Binom}(10,0.105)$ et $\mathrm{Binom}(10,0.095)$. Attention à ne pas prendre $\mu$ trop grand, ça explose vite!)

    2. La martingale $(Z_n/\mu^n)$

    Dans la PC8 on démontre que le processus $(M_n)_{n\geq 0}=(Z_n/\mu^n)_{n\geq 0}$ est une martingale (positive). Elle converge donc avec probabilité $1$ vers une valeur finale aléatoire $M_\infty$, on observe cette convergence :






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