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    L'objectif des 1/4h python est d'illustrer par la simulation certains aspects du cours. Toutes les fenêtres de code peuvent (et doivent!) être exécutées en cliquant sur Evaluate. N'hésitez pas à éditer le code pour modifier les paramètres.

    Marche aléatoire dans un potentiel à deux puits

    On s'intéresse au problème de la vitesse de convergence d'une chaîne de Markov vers sa mesure stationnaire. Il s'agit bien sûr d'un problème très important pour la simulation, mais c'est une question difficile en toute généralité, beaucoup de problèmes mathématiques restent ouverts.

    On va étudier le cas simple d'une marche dans un potentiel à deux puits : la chaîne $(X_t)_{t\geq 0}$ à valeurs dans $\{-n,-(n-1),\dots,0,1,\dots,n\}$ définie par $X_0=-n$ et par les transitions suivantes :

    (On va avec probabilité $2/3$ vers le voisin qui nous éloigne le plus de zéro, $n$ et $-n$ sont les "puits" qui attirent la marche.)

    Simulations d'une trajectoire


    On commence par simuler des trajectoires $X_0,X_1,\dots,X_T$ pour $T=300$ et des puits de profondeur $n=30$ :
    Commentaires : Avec les paramètres choisis ($n=30$), la marche reste bloquée dans le puits. On suggère de reprendre les simulations avec un puits moins profond : $n=5$ par exemple.




    Convergence vers la mesure stationnaire


    On cherche à évaluer la loi de $X_T$, partant de $X_0=-n$. Un calcul rapide démontre que la mesure de probabilité suivante est réversible (donc stationnaire) :

    $$ \pi_n(i)=\frac{1}{Z_n}2^{|i|}, $$
    où $Z_n=4(2^n-1)+1$ est choisi de sorte que $\pi_n$ est bien une mesure de probabilité. En particulier, on voit que l'on passe beaucoup de temps au fond des puits.
    La chaîne étant irréductible, apériodique et à espace d'états fini, pour tout $n$ on a $X_T \stackrel{\text{loi}}{\to} \pi_n$ (lorsque $T\to +\infty$).
    Cependant, un calcul théorique indique que le temps de convergence risque d'être long. On peut en effet vérifier que
    $$ \mathbb{E}_{-n}[T_0]=6\times 2^n -3n-6. $$
    Pour illustrer numériquement la convergence :
    • On lance $K$ trajectoires partant de $X_0=-n$;
    • On les arrête au temps $T$;
    • On représente les valeurs finales $X_T$ dans un histogramme.
    Ci-dessous, on commence par $n=5$, $T=50$. On voit alors que $X_T$ est encore éloigné de la mesure stationnaire. On peut prendre $T=1000$ pour obtenir un meilleur résultat.












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