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    L'objectif des 1/4h python est d'illustrer par la simulation certains aspects du cours. Toutes les fenêtres de code peuvent (et doivent!) être exécutées en cliquant sur Evaluate. N'hésitez pas à éditer le code pour modifier les paramètres.

    Le modèle

    Ce premier 1/4h python est consacré à la simulation de la marche aléatoire simple sur le cercle $\mathbb{Z}/L\mathbb{Z}$.

    Simulations de quelques trajectoires


    On commence par simuler et tracer $K$ trajectoires indépendantes $S_0,S_1,\dots,S_n$ sur le cercle $\mathbb{Z}/L\mathbb{Z}$.
    Ne pas hésiter à modifier $L$ et $n$!



    Histogramme de la loi de $S_n$


    On cherche maintenant à évaluer la loi de $S_n$, pour $n$ grand. Dans la PC1, un exercice démontre que lorsque $n\to +\infty$,

    $$ S_n \stackrel{\text{loi}}{\to} \mathrm{Loi\ uniforme\ sur\ }\mathbb{Z}/L\mathbb{Z}. $$

    Rappelons que cela est équivalent à

    $$ \text{Pour tout }r \in \{0,1,\dots,L-1\},\qquad \mathbb{P}(S_n=r) \stackrel{n\to +\infty}{\to} 1/L. $$

    Pour illustrer cette convergence, il faut donc fixer $L$ et simuler $K$ fois (avec $K$ grand) la variable $S_n$ (avec $n$ grand également). On représente les résultats dans un histogramme.




    Commentaires : On peut illustrer dans l'histogramme ci-dessus les différents régimes :
    • $n\leq L/2$ : $S_n$ n'a pas eu le temps de faire le tour, on observe simplement l'histogramme d'une binomiale.
    • $n\gg L^2$ : la marche a bien convergé en loi (voir la fin de la PC1), $S_n$ est quasiment uniforme.
    • $n= \mathrm{const}\times L^2$ : c'est le régime le plus intéressant. Le comportement limite est lié à l'équation de la chaleur (voir également la fin de la PC1).








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