Not-so-fair game
On considère le problème suivant. Soit $0< a <1$ un paramètre fixé, on pose $X_0=1$ et
$$
X_n= Y_1\times Y_2 \times \dots \times Y_n,
$$
où les $Y_k$ sont i.i.d. avec
$$
Y_{1}=
\begin{cases}
1+a &\text{ avec proba. }1/2,\\
1-a &\text{ avec proba. }1/2.
\end{cases}
$$
On a bien sûr $\mathbb{E}[Y_k]=\frac{1-a}{2}+\frac{1+a}{2}=1$, de sorte que pour tout $n$
\begin{equation}
\mathbb{E}[X_{n+1}|X_0,X_1,\dots,X_n]=X_n \mathbb{E}[Y_{n+1}|X_0,X_1,\dots,X_n]=X_n \mathbb{E}[Y_{n+1}]=X_n.\qquad (1)
\end{equation}
La suite $(X_n)$ est donc une martingale. En particulier $\mathbb{E}[X_n]=1$ pour tout $n$.
Quelques trajectoires $X_0,X_1,\dots,$
La suite $(X_n)$ est une martingale, donc un jeu équitable en espérance. On constate sur quelques trajectoires que le comportement de chaque trajectoire semble être un jeu "perdant", elles tendent toutes vers zéro :
Limite presque-sûre
Pour déterminer le comportement presque-sûr de $\lim X_n$, on observe que
$$ \log(X_n) = n \times \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \log(Y_k) \stackrel{n\to +\infty}{\sim} n \mathbb{E}[\log(Y_0)] $$
où l'on a utilisé la loi des grands nombres. On vérifie facilement que $\mathbb{E}[\log(Y_0)]< 0$, ce qui démontre que $\log X_n \to -\infty$ p.s., et donc $X_n \to 0$.
Ci-dessous, on trace pour les mêmes réalisations les trajectoires de $X$ et $\log(X)$ :
Liens
- Moodle : Cours MAP432
- Initiation à Python : Page web de l'initiation python du cours de tronc commun
