Ruine du joueur
L'objectif de ce 1/4h python est de vérifier empiriquement les résultats théoriques sur la ruine du joueur.
Pour $N\geq 1$ fixé, la ruine du joueur de mise de départ $A\in \{1,2,\dots,N-1\}$ et de biais $p$ est le processus $(S_k)_{k\geq 0}$ défini par
$S_0=A$ et
$$
S_{k+1}=
\begin{cases}
S_{k}+\xi_{k+1} &\text{ si }1\leq S_k\leq N-1,\\
S_k &\text{ sinon},
\end{cases}
$$
où les $\xi_k$ sont i.i.d. avec
$$
\xi_{1}=
\begin{cases}
&+1 \text{ avec proba. }p,\\
&-1 \text{ avec proba. }1-p.
\end{cases}
$$
On considère le temps d'arrêt $\tau=\min\{k\geq 1; S_k= 0\text{ ou }N\}$. On cherche à évaluer la probabilité de ruine $\mathbb{P}(S_\tau=0)$.
1. Simulation de trajectoires
Le script suivant trace $V$ trajectoires indépendantes du processus $(S_k)$.2. Estimation de la probabilité de ruine
Il est facile de voir que $(M_k)_{k\geq 0}=\left((\tfrac{1-p}{p})^{S_k}\right)_{k\geq 0}$ est une martingale. Grâce au Théorème d'arrêt, on en déduit que la probabilité de ruine vaut $$ \mathbb{P}(S_\tau=0)=\frac{( \tfrac{1-p}{p})^N -(\tfrac{1-p}{p})^A}{( \tfrac{1-p}{p})^N -1}. $$ Le script suivant permet de comparer cette probabilité théorique à la fréquence observée avec $V$ trajectoires, pour $p$ variant entre $0$ et $1$.Liens
- Moodle : Cours MAP432
- Initiation à Python : Page web de l'initiation python du cours de tronc commun