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    L'objectif des 1/4h python est d'illustrer par la simulation certains aspects du cours. Toutes les fenêtres de code peuvent (et doivent!) être exécutées en cliquant sur Evaluate. N'hésitez pas à éditer le code pour modifier les paramètres.

    Ruine du joueur

    L'objectif de ce 1/4h python est de vérifier empiriquement les résultats théoriques sur la ruine du joueur.

    Pour $N\geq 1$ fixé, la ruine du joueur de mise de départ $A\in \{1,2,\dots,N-1\}$ et de biais $p$ est le processus $(S_k)_{k\geq 0}$ défini par $S_0=A$ et

    $$ S_{k+1}= \begin{cases} S_{k}+\xi_{k+1} &\text{ si }1\leq S_k\leq N-1,\\ S_k &\text{ sinon}, \end{cases} $$
    où les $\xi_k$ sont i.i.d. avec
    $$ \xi_{1}= \begin{cases} &+1 \text{ avec proba. }p,\\ &-1 \text{ avec proba. }1-p. \end{cases} $$
    On considère le temps d'arrêt $\tau=\min\{k\geq 1; S_k= 0\text{ ou }N\}$. On cherche à évaluer la probabilité de ruine $\mathbb{P}(S_\tau=0)$.

    1. Simulation de trajectoires

    Le script suivant trace $V$ trajectoires indépendantes du processus $(S_k)$.

    2. Estimation de la probabilité de ruine

    Il est facile de voir que $(M_k)_{k\geq 0}=\left((\tfrac{1-p}{p})^{S_k}\right)_{k\geq 0}$ est une martingale. Grâce au Théorème d'arrêt, on en déduit que la probabilité de ruine vaut $$ \mathbb{P}(S_\tau=0)=\frac{( \tfrac{1-p}{p})^N -(\tfrac{1-p}{p})^A}{( \tfrac{1-p}{p})^N -1}. $$ Le script suivant permet de comparer cette probabilité théorique à la fréquence observée avec $V$ trajectoires, pour $p$ variant entre $0$ et $1$.






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