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    L'objectif des 1/4h python est d'illustrer par la simulation certains aspects du cours. Toutes les fenêtres de code peuvent (et doivent!) être exécutées en cliquant sur Evaluate. N'hésitez pas à éditer le code pour modifier les paramètres.

    Un processus simple sur N

    On considère le modèle suivant. Soit (ai)i0 une famille de nombres réels entre 0 et 1. On considère la chaîne de Markov (Xn) d'espace d'états E={0,1,2} et dont les transitions sont données par
    P(Xn+1=i+1|Xn=i)=ai,P(Xn+1=0|Xn=i)=1ai.
    Pour illustrer les différents cas nous allons prendre ai de la forme
    ai=11(i+2)α,
    α>0 est un paramètre fixé.



    Récurrence

    On pose bi=a0 a1ai1, on démontre en PC que

    (Xn)n récurrentelimibi=0.
    En passant au log on voit que
    log(bi)=ij=0log(aj)=ij=0log(11(j+2)α)ij=01(j+2)αi+{ si α1,cst si α>1.
    On a donc finalement :
    (Xn)n récurrentelimibi=0α1.

    Récurrence positive

    On peut démontrer de plus que la chaîne est récurrente positive si et seulement si bn<. Puisque bn+1/bn=an, la règle de Raabe-Duhamel assure que ceci est vérifié si et seulement si α<1.

    Quelques trajectoires

    On trace quelques trajectoires de (Xn) pour α fixé, on commence par α=0.9. Ne pas hésiter à changer la valeur de α : dès α=1.2 on voit un changement net de comportement.









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