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\newcommand{\exercice}{\vspace{0.5cm}\par\noindent\stepcounter{numeroexo}
	\hspace{-.25cm}\fbox{\textbf{Exercice \arabic{numeroexo}}}\quad}
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\noindent\stepcounter{numeroquestion}
\textbf{question \arabic{numeroquestion}}\quad}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

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% 11111111111111111111111111111111111111111111111
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\noindent{\bf N° d'étudiant :  } \hspace{6cm} \textsc{Examen Final} (2h) Mathématiques 1 (L1 Eco)


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\exercice Déterminer l'ensemble de définition $D_f$ de $f:x\mapsto \log(1-7x)$. Montrer ensuite que pour tout $x$ dans $D_f$ on a l'inégalité $\log(1-7x) \leq -7x$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\vspace{5mm}

\hspace{-4mm}\fbox{\begin{minipage}{\linewidth}
$\phantom{1}$
\vspace{68mm}
\end{minipage}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exercice\question Donner, sans justification, les D.L. en zéro à l'ordre deux des fonctions suivantes :
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\hspace{-4mm}\fbox{\begin{minipage}{\linewidth}
\begin{tabular}{r l l}
\vspace{-1mm}
 & & \\
$\exp(x)=$ & \hspace{55mm} & $\displaystyle{\frac{1}{1+2x}}=$\\
 & & \\
$\exp(x)\displaystyle{\frac{1}{1+2x}}=$ & & \\
 & & \\
\vspace{-6mm}
\end{tabular}
\end{minipage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\question Soit $\displaystyle{f(x)=\exp(x)\frac{1}{1+2x}}$. Combien vaut $f''(0)$? (justifier).

\hspace{-4mm}\fbox{\begin{minipage}{\linewidth}
$\phantom{1}$
\vspace{14mm}
\end{minipage}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exercice Calculer $\displaystyle{\lim_{n\to \infty} n^2\sin(3/n)}+e^{-n}$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\hspace{-4mm}\fbox{\begin{minipage}{\linewidth}
$\phantom{1}$
\vspace{45mm}
\end{minipage}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exercice On pose $u_n=\sqrt{n}+n^2$. Trouver un rang $N$ tel que, si $n\geq N$ alors $u_n \geq 10^{40}$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\hspace{-4mm}\fbox{\begin{minipage}{\linewidth}
$\phantom{1}$
\vspace{40mm}
\end{minipage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exercice Soit $\displaystyle{f:x\mapsto \sqrt{2+x^2}}$, définie sur $\mathbb{R}$. \question Calculer la dérivée de $f$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\hspace{-4mm}\fbox{\begin{minipage}{\linewidth}
$\phantom{1}$
\vspace{15mm}
\end{minipage}
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%
\question \'Ecrire l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point $x=1$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\hspace{-4mm}\fbox{\begin{minipage}{\linewidth}
$\phantom{1}$
\vspace{15mm}
\end{minipage}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exercice Si une entreprise achète $x$ unités de $A$ et $y$ unités de $B$, cela lui apporte une utilité de
$U(x,y)=x^2y$. Chaque unité de $A$ coûte $1$ euro, chaque unité de $B$ coûte également $1$ euro. Si l'entreprise a un budget de $6000$ euros, comment doit-elle répartir ses achats entre $A$ et $B$ pour maximiser son utilité?
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\hspace{-4mm}\fbox{\begin{minipage}{\linewidth}
$\phantom{1}$
\vspace{77mm}
\end{minipage}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exercice Démontrer que l'équation $2^x=3-x^2$ admet au moins une solution dans l'intervalle $[0,2]$.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\hspace{-4mm}\fbox{\begin{minipage}{\linewidth}
$\phantom{1}$
\vspace{55mm}
\end{minipage}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exercice Soient $f$ et $g$ des fonctions deux fois dérivables sur $\mathbb{R}$; on suppose que $f$ est convexe et que $g$ est concave. 
La fonction $(2f-g)$ est-elle convexe/concave/ni l'un ni l'autre ? (justifier)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\hspace{-4mm}\fbox{\begin{minipage}{\linewidth}
$\phantom{1}$
\vspace{32mm}
\end{minipage}}

\end{document}

